欧拉规则是什么？

欧拉定理

对于互质的整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n

证明：

首先证明下面这个命题：

对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考虑集合

S = {ax1 mod n,ax2mod n,...,axφ(n)mod n}

则S = Zn

1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则axi也一定于p互质，因此

任意xi，axi mod n 必然是Zn的一个元素

2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj

则axi mod n ≠ axi mod n，这个由a、p互质和消去律可以得出。

所以，很明显，S=Zn

既然这样，那么

(ax1 × ax2×...×axφ(n))mod n

= (ax1 mod n × ax2mod n × ... × axφ(n)mod n)mod n

= (x1 × x2 × ... × xφ(n))mod n

考虑上面等式左边和右边

左边等于(aφ(n) × (x1 × x2 × ... × xφ(n))mod n) mod n

右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n))mod n

而x1 × x2 × ... × xφ(n))mod n和p互质

根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：

aφ(n) ≡ 1 mod n

推论：对于互质的数a、n，满足aφ(n)+1 ≡ a mod n

费马定理

a是不能被质数p整除的正整数，则有ap-1 ≡ 1 mod p

证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。

同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有ap ≡ a mod p

[编辑本段]欧拉公式

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系

V+F-E=2

这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。寻车网

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